第二天还呕吐腹泻，这是我们的责任吗？

这可能是您的责任，需具体分析。如外卖有问题导致食客中毒，依据《食品安全法》，您需承担相应责任。不及时处理可能面临法律诉讼和赔偿。
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需承担责任。操作如下：首先，立即与客人联系，了解详细情况；其次，保留好外卖相关记录，如制作、配送时间等；接着，与客人协商赔偿事宜，包括医疗费等；最后，若无法协商，准备法律材料，应对可能诉讼。
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常见处理方式是与客人协商赔偿或诉讼解决。建议先与客人沟通，了解具体情况，若确为外卖问题，可协商赔偿；若协商无果，可考虑通过法律途径解决。